Geordnete Geometrie

Dieser Text beschreibt Geordnete Geometrie.

Die Geordnete Geometrie ist eine Geometrie mit recht wenigen Axiomen.

Die Affine Geometrie, die Projektive Geometrie, die Absolute Geometrie sowie die Euklidische und die Nichteuklidische Geometrie sind alle Spezialfälle der Geordneten Geometrie.

Die Geordnete Geometrie beschränkt sich auf

• das Konzept eines Punktes (z.B. A, B, C, ...) und
• das Konzept des Dazwischen (z.B. B ist zwischen A und C, geschrieben als [ABC]).

Das entspricht den ersten beiden Axiomen der Euklidischen Geometrie.

• Man kann eine gerade Strecke von einem Punkt zu einem anderen Punkt ziehen.
• Man kann eine Strecke kontinuierlich zu einem Strahl verlängern.

Daraus entstehen Begriffe wie

• das Segment AB (die Menge aller Punkte P, für die [APB] gilt),
• die Strecke AB (das Segment AB einschließlich A und B),
• der Strahl AB (die Menge aller Punkte P, für die [PAB] gilt),
• die Gerade AB (die Vereinigung des Strahls AB, der Strecke AB und des Strahls BA) und
• das Dreieck ABC (Wenn A, B und C nicht alle auf einer Geraden liegen).

Auch Winkel und Parallele lassen sich definieren.Die Geordnete Geometrie wird durch die folgenden Axiome genau definiert:

1. Axiom: Es gibt mindestens zwei Punkte.

2. Axiom: Wenn A und B unterschiedliche Punkte sind, dann gibt es wenigstens einen Punkt C, so dass [ABC].

3. Axiom: Wenn [ABC] dann A ungleich C.

4. Axiom: Wenn [ABC] dann [CBA], aber nicht [BCA].

5. Axiom: Wenn C und D unterschiedliche Punkte auf der Geraden AB sind, dann ist A auf der Geraden CD.

Bislang konnten theoretisch alle Punkte der Geometrie auf einer Geraden liegen. Um diese 'langweilige' Geometrie auszuschließen, fordert man

6. Axiom: Wenn die Gerade AB existiert, dann gibt es einen Punkt C außerhalb der Geraden AB.

Das folgende 7. Axiom stellt auf eine sehr 'verborgene' Weise sicher, dass es zwischen zwei beliebigen Punkten stets noch (mindestens) einen weiteren Punkt gibt. Die direkte axiomatische Forderung nach 'Zwischenpunkten' führt zu axiomatischen Problemen, die hier nicht diskutiert werden können.

7. Axiom: Wenn ABC ein Dreieck ist, und [BCD] und [CEA] gilt, dann existiert auf der Geraden DE ein Punkt F, für den [AFB] gilt.

Zusätzlich muss sichergestellt sein, dass die Geraden 'kontinuierlich' sind, d.h. dass keine Lücken auftreten. Eine tiefere Diskussion dieses Konzeptes findet sich in der Analysis, die den analoge Unterschied zwischen rationalen Zahlen und reellen Zahlen beleuchtet.

8. Axiom: (Informal) Die Punkte auf einer Geraden liegen dicht (im Sinne des Grenzwertsatzes ).

Bislang wurde noch gar nicht über die Dimension des von der Geometrie beschriebenen Raumes gesprochen. Sie wird ebenfalls axiomatisch festgelegt:
2 Dimensionen:

9. Axiom: Alle Punkte liegen in einer Ebene.

oder 3 Dimensionen:

9. Axiom: Wenn ABC ein Dreieck bilden, dann gibt es einen Punkt D außerhalb der durch das Dreieck aufgespannten Ebene.

10. Axiom: Alle Punkte liegen in dem 3-dimensinalen Raum.

oder 4 Dimensionen:

10. Axiom: Wenn ABCD einen 3-Dimensionalen Tetraeder bilden, dann gibt es einen Punkt E außerhalb des durch den Tetraeder aufgespannten Raumes.

11. Axiom: Alle Punkte liegen in dem 4-dimensinalen Raum.

oder mehr Dimensionen

Dieses Schema kann bis zu beliebigen Dimensionen fortgeführt werden.